4. 级数应用

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

级数应用

例 1. (定积分) 求积分

（1）$\displaystyle\int_0^x\frac{\sin t}{t}dt$, （2）(例8.4.2) $\displaystyle\int_0^1\frac{\sin x}{x}dx$,

（3）$\displaystyle\int_0^x\frac{\arctan t}{t}dt$,       （4）$\displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}xdx$,

（5）$\displaystyle\int_0^1\ln x\ln(1-x)dx$,

例 2. (椭圆积分) (例8.4.3)求积分

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\frac1{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}d\phi, k^2<1$     $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}d\phi, k^2<1$

例 3. (Euler公式) (例8.4.5)$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

例 4. (函数方程的解) (例8.4.1)$y=y(x)$是方程$y+\lambda\sin y=x$在$(x,y)=(0,0)$附近的隐函数，$\lambda\neq-1$。求$y=y(x)$在$x=0$处的Taylor展开前4项

例 5. (例8.4.6)解微分方程$y''-xy=0$

例 6. 求近似值

（1） $\sqrt[3]9$ （2） $\sqrt[5]{240}$ （3） $\sin(18^{\circ})$

例 7. 证明

\[J_0(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(k!)^2 2^{2k}} \]

满足方程 $xy''(x)+y'(x)+xy(x)=0$

目录

本节读完

[#ex8-1-0].

Picard逐次逼近法

对一阶常微分方程初值问题

\[\begin{cases} & y'(x)=f(x,y), \\ & y(x_0)=y_0 \end{cases} \]

有

\[y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt \]

构造函数列

\[y_0(x)=y_0, y_n(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_{n-1}(t))dt, n\geq 1 \]

证明$y_n(x)$收敛，且极限函数就是方程的解。

例 8.

\[\begin{cases} & y'(x)=y(x), \\ & y(x_0)=1 \end{cases} \]

则有

\[\begin{aligned} & y_1(x)=1+\int_0^xdt=1+x \\ & y_2(x)=1+\int_0^x(1+t)dt=1+x+\frac{x^2}2 \\ & \cdots\\ & y_n(x)=1+\int_0^xy_{n-1}(t)dt=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!} \end{aligned} \]

所以 $y(x)=1+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=e^x$

定理 1. (Picard定理)
设函数$f(x,y)$及其偏导数$f'_y$在有界闭区域 $D=\{(x,y)| |x-x_0|\leq a,|b-y_0|\leq b\}$上连续，其中$a,b>0$， 则存在一个正数$h<a$，使得初值问题

\[\begin{cases} & y'(x)=f(x,y), \\ & y(x_0)=y_0 \end{cases} \]

在区间$[x_0-h,x_0+h]$上有唯一解$y=y(x)$。

证明.